Université d'Orléans
Master 2 de Mathématiques, 2023-24
Processus aléatoires et applications
Les lundis et mercredis à partir du 18/9, 13h30-15h30, salle E15
Polycopié (ancienne version, partie 1)
Polycopié (nouvelle version provisoire)
Première partie: Chaînes de Markov à espace dénombrable
1. Exemples de chaînes de Markov
- 1.1. Textes aléatoires
- 1.2. Modèle d'urnes d'Ehrenfest
- 1.3. Marches aléatoires
- 1.4. Modèle d'Ising
2. Rappels sur les chaînes de Markov
- 2.1. Définitions, notations
- 2.2. Chaînes de Markov irréductibles
- 2.3. Récurrence, probabilité invariante
- 2.4. Apériodicité, convergence vers la probabilité invariante
3. Théorie spectrale et vitesse de convergence
- 3.1. Quelques exemples simples
- 3.2. Normes de vecteurs et de matrices
- 3.3. Théorème de Perron-Frobenius et trou spectral
- 3.4. Diagonalisation et décomposition de Dunford
- 3.5. Cas réversibe
4. Fonctions de Lyapounov et vitesse de convergence
- 4.1. Notations – formalisme des générateurs
- 4.2. Fonctions de Lyapounov
- 4.3. Normes à poids
- 4.4. Un critère de convergence
5. Algorithmes MCMC
- 5.1. Méthodes Monte Carlo
- 5.2. Méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov
- 5.3. Algorithmes de type Metropolis
- 5.4. Modèle d'Ising sur le cercle discret
Deuxième partie: Chaînes de Markov à espace continu
6. Exemples et notations
- 6.1. Définitions et notations
- 6.2. Exemples
7. Probabilités invariantes et vitesse de convergence
- 7.1. Irréductibilité et récurrence de Harris
- 7.2. Vitesse de convergence
Travaux dirigés
- Série 1. Révision chaînes de Markov
- Série 2. Trou spectral, fonctions de Lyapounov
- Série 3. Chaînes de Markov à espace continu
Travaux pratiques
- TP 1. Le modèle d'Ehrenfest
- TP 2. Le modèle d'Ising en dimension 1
Ancienne page du cours
Annales d'examens (ancien programme)
- Examen du 18 décembre 2023
- Examen du 12 décembre 2022
- Examen du 15 décembre 2021
- Examen du 16 décembre 2020
- Examen du 16 décembre 2019
- Examen du 17 décembre 2018
- Examen du 18 décembre 2017
- Examen du 12 décembre 2016
- Examen du 14 décembre 2015
- Examen du 15 décembre 2014
- Examen du 18 décembre 2013
- Examen du 17 décembre 2012
- Examen du 19 décembre 2011
- Examen du 15 décembre 2010
- Examen du 14 décembre 2009
- Examen du 8 décembre 2008
- Examen du 17 décembre 2007
Liens en relation avec le cours
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