Université d'Orléans

Master 2 Recherche de Mathématiques, 2012-13

Martingales et calcul stochastique

Lundi, 9h30-13h00, salle L6
Cours les 10/9, 24/9, 8/10, 22/10, 12/11, 26/11, 10/12
Travaux dirigés les 17/9, 1/10, 15/10, 5/11, 19/11, 3/12, 17/12 (J.-B. Gouéré)

Polycopié

Partie I. Processus en temps discret

1. Exemples de processus stochastiques

• 1.1. Variables aléatoires i.i.d.
• 1.2. Marches aléatoires et chaînes de Markov
• 1.3. Urnes de Polya
• 1.4. Le processus de Galton–Watson
• 1.5. Marches aléatoires auto-évitantes
• 1.6. Sytèmes dynamiques

2. Construction générale d'un processus

• 2.1. Préliminaires et rappels
• 2.2. Distributions de dimension finie
• 2.3. Noyaux markoviens
• 2.4. Le théorème de Ionescu–Tulcea

3. Filtrations, espérances conditionnelles

• 3.1. Sous-tribus et filtrations
• 3.2. Espérance conditionnelle
• 3.3. Exercices

4. Martingales

• 4.1. Définitions et exemples
• 4.2. Inégalités
• 4.3. Décomposition de Doob, processus croissant
• 4.4. Exercices

5. Temps d'arrêt

• 5.1. Définition et exemples
• 5.2. Processus arrêté, inégalité de Doob
• 5.3. Exercices

6. Théorèmes de convergence

• 6.1. Rappel: Notions de convergence
• 6.2. Convergence presque sûre
• 6.3. Convergence dans L^p, p>1
• 6.4. Convergence dans L¹
• 6.5. Loi 0-1 de Lévy
• 6.6. Exercices

Partie II. Processus en temps continu

7. Le mouvement Brownien

• 7.1. Limite d'échelle d'une marche aléatoire
• 7.2. Construction du mouvement Brownien
• 7.3. Propriétés de base
• 7.4. Temps d'arrêt
• 7.5. Mouvement Brownien et martingales
• 7.6. Exercices

8. L'intégrale d'Itô

• 8.1. Définition
• 8.2. Propriétés élémentaires
• 8.3. Un exemple
• 8.4. La formule d'Itô
• 8.5. Exercices

9. Equations différentielles stochastiques

• 9.1. Solutions fortes
• 9.2. Existence et unicité de solutions
• 9.3. Exercices

10. Diffusions

• 10.1. La propriété de Markov
• 10.2. Semigroupes et générateurs
• 10.3. La formule de Dynkin
• 10.4. Les équations de Kolmogorov
• 10.5. La formule de Feynman–Kac
• 10.5. Exercices

Corrigés d'exercices

• Exercices du chapitre 3: Espérances conditionnelles
• Exercices du chapitre 4: Martingales
• Exercices du chapitre 5: Temps d'arrêt
• Exercices du chapitre 6: Théorèmes de convergence
• Exercices du chapitre 7: Mouvement Brownien
• Exercices du chapitre 8: Intégrale d'Itô
• Exercices du chapitre 9: Equations différentielles stochastiques
• Exercices du chapitre 10: Diffusions

Examens

• Examen du 7 janvier 2013 — Corrigé
• Examen du 17 janvier 2012 — Corrigé
• Examen du 20 janvier 2011
• Examen du 6 janvier 2010
• Examen du 20 janvier 2009

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