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Vecteurs aléatoires à densité
Nous aimerions associer, quand c'est possible, une densité
à un tel vecteur aléatoire. C'est-à-dire que la
probabilité que
appartienne à un sous-ensemble
devrait pouvoir s'écrire comme une intégrale multiple de
sur
.
Considérons d'abord le cas
. Supposons que pour une fonction
, l'intégrale
![$\displaystyle f_1(x_1) = \int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2)\,\6x_2$](img326.png) |
(2.4) |
existe pour chaque
. Supposons de plus que la fonction
est
intégrable. Le théorème de Fubini affirme que l'intégrale de
est égale à celle de
![$\displaystyle f_2(x_2) = \int_{-\infty}^\infty f(x_1,x_2)\,\6x_1\;.$](img329.png) |
(2.5) |
On note alors
![$\displaystyle \int_{\R^2} f(x_1,x_2)\,\6x_1\6x_2 \defby \int_{-\infty}^\infty f_1(x_1)\,\6x_1 \equiv \int_{-\infty}^\infty f_2(x_2)\,\6x_2\;.$](img330.png) |
(2.6) |
Si
, on introduit de plus
![$\displaystyle \int_B f(x_1,x_2)\,\6x_1\6x_2 = \int_{\R^2} \indicator{B}(x_1,x_2) f(x_1,x_2)\,\6x_1\6x_2\;,$](img331.png) |
(2.7) |
pour autant que cette dernière intégrale existe, où
![$\displaystyle \indicator{B}(x_1,x_2) = \begin{cases}1 & \text{si $(x_1,x_2)\in B$\;,} \\ 0 & \text{sinon\;} \end{cases}$](img332.png) |
(2.8) |
désigne la fonction indicatrice de
.
Ces notations se généralisent à des fonctions
.
Le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons dans la section
suivante, permet d'étendre la relation (2.2.7) à des
événements plus généraux. Pour l'instant il suffira de savoir que
les Boréliens sont une classe de sous-ensembles de
,
comprenant en particulier les ouverts et les fermés de
, ainsi que
toutes leurs réunions et intersections.
D´EMONSTRATION.
En utilisant (
2.2.15) et le changement de variable
![$ z=x_1+x_2$](img343.png)
, on a
D´EMONSTRATION.
Remarquons que les
sont évidemment les densités marginales
de
. La relation (2.2.13) implique immédiatement
le résultat suivant.
Ceci motive la définition suivante.
Nous appliquons maintenant ces résultats au cas particulier important
de variables aléatoires gaussiennes, c'est-à-dire suivant des lois
normales.
D´EMONSTRATION.
Nous allons considérer le cas
![$ n=2$](img36.png)
, le cas général s'en déduit par
récurrence. Il est plus commode de travailler avec
![$ Y_1=X_1-\mu_1$](img356.png)
et
![$ Y_2=X_2-\mu_2$](img357.png)
, qui suivent des lois normales centrées (c'est-à-dire
de moyenne nulle). Soit
![$\displaystyle u = u(y_2) = \frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sigma_1\sigma_2} y_2 - \frac{\sigma_2}{\sigma_1 \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} z\;.$](img358.png) |
(2.10) |
Nous allons utiliser le fait que
![$\displaystyle u^2 + \frac{z^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2} = \frac{(z-y_2)^2}{\sigma_1^2} + \frac{y_2^2}{\sigma_2^2}\;,$](img359.png) |
(2.11) |
qui se vérifie par un calcul élémentaire.
La densité
![$ g$](img360.png)
de
![$ Y_1+Y_2$](img361.png)
est alors donnée par la convolution
où nous avons utilisé le changement de variable
![$ y_2\mapsto u(y_2)$](img367.png)
. Ceci
montre que
![$ Y_1+Y_2$](img361.png)
suit la loi
![$ \cN(0,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$](img368.png)
, et par
conséquent
![$ X_1+X_2$](img369.png)
suit la loi
![$ \cN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$](img370.png)
.
La densité conjointe des
variables gaussiennes indépendantes est donnée
par
![$\displaystyle f(x_1,\dots,x_n) = \frac1{(2\pi)^{n/2}\sigma_1\dots\sigma_n} \exp...
...frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \dots + \frac{(x_n-\mu_n)^2}{\sigma_n^2}}}\;,$](img371.png) |
(2.13) |
on l'appelle une densité gaussienne à
dimensions. Considérons le
cas où les
suivent la loi normale standard, c'est-à-dire
![$\displaystyle f(x) = f(x_1,\dots,x_n) = \frac1{(2\pi)^{n/2}} \e^{-\norm{x}^2/2}\;.$](img372.png) |
(2.14) |
Par l'indépendance, nous aurons
pour
, alors
que
, et par conséquent
vaut
si
,
0 sinon. Soit alors
une matrice non singulière, c'est-à-dire
telle que
, et
. Considérons la variable
aléatoire
![$\displaystyle Y = TX + \mu\;,$](img381.png) |
(2.15) |
dont l'espérance vaut
. Quelle est sa densité? Nous avons, en vertu
de la formule de changement de variable,
Par conséquent, la densité de
est donnée par
![$\displaystyle g(y) = \frac{\abs{\det S}}{(2\pi)^{n/2}} \e^{-\norm{S(y-\mu)}^2/2}\;.$](img385.png) |
(2.17) |
Remarquons que l'on peut récrire
où
est la matrice symétrique définie positive
,
d'éléments
, qui satisfait
. Nous avons
donc
![$\displaystyle g(y_1,\dots,y_n) = \frac{\sqrt{\det A}}{(2\pi)^{n/2}} \exp\biggset{-\frac12\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(y_i-\mu_i)(y_j-\mu_j)}\;,$](img392.png) |
(2.19) |
qui est la forme générale d'une densité gaussienne. Nous avons
déjà vu que son espérance vaut
. Quant à sa covariance, elle se
calcule en observant que
d'où, comme
,
![$\displaystyle \cov(Y_i,Y_j) = (A^{-1})_{ij}\;.$](img398.png) |
(2.21) |
La matrice
s'appelle la matrice de covariance de la
densité gaussienne (2.2.32). Nous voyons en particulier que les
variables
sont non corrélées si et seulement si
est
diagonale, ce qui est le cas si et seulement si les variables sont
indépendantes.
Voici pour terminer une autre propriété remarquable des densités
gaussiennes.
D´EMONSTRATION.
Il suffit à nouveau de considérer le cas
![$ n=2$](img36.png)
,
![$ \mu=0$](img403.png)
, les cas de
dimension plus élevée pouvant être traités par récurrence. Or
l'identité
![$\displaystyle a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2 = a_{11}\Bigpar{x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2}^2 + \frac{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}{a_{11}} x_2^2$](img404.png) |
(2.22) |
permet d'effectuer l'intégrale de la densité sur
![$ x_1$](img405.png)
, à l'aide du
changement de variable
![$ u=x_1 + (a_{12}/a_{11})x_2$](img406.png)
. La densité marginale
est donc proportionnelle à
![$ \e^{-x_2^2/2\sigma_2^2}$](img407.png)
, avec
![$ \sigma_2$](img408.png)
donné par
![$ \sigma_2^2=a_{11}/\det A$](img409.png)
.
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berglund
2005-11-28