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Mesures de probabilité et espaces probabilisés

Nous donnons dans cette section une introduction à la théorie générale des espaces probabilisés, telle que fondée par Kolmogorov. Cette théorie permet de traiter de manière unifiée les espaces probabilisés discrets, les variables aléatoires à densité, et bien d'autres situations. La construction comporte trois étapes principales:
\begin{enum}
\item l'espace probabilis\'e est d\'efini \\lq a l'aide des notions de...
...s comme des int\'egrales par rapport
\\lq a la mesure de probabilit\'e.
\end{enum}


\begin{definition}[Tribu]
Soit $\Omega$\ un ensemble. Une famille non vide $\cF$...
... de $\cF$,
on a $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\cF$.
\end{itemiz}\end{definition}


\begin{definition}[Mesure de probabilit\'e]
Une\/ \defwd{mesure}\/ sur une tribu...
...ne\/ \defwd{mesure de
probabilit\'e}\/, et on la notera $\fP$.
\end{definition}


\begin{definition}[Espace probabilis\'e]
Si $\cF$\ est une tribu sur $\Omega$, $...
...e, $(\Omega,\cF,\fP)$\ est un\/ \defwd{espace probabilis\'e}\/.
\end{definition}


\begin{example}\hfill
\begin{enum}
\item $\cF=\set{\Omega,\emptyset}$\ est une $...
...^m}} = \frac{\abs{A}}{2^m}
\end{equation}pour tout $m$.
\end{enum}\end{example}


\begin{definition}[Application mesurable]\hfill
\begin{itemiz}
\item Si $(\Omega...
...nction continue $f:
\R\to\R$\ est $\cB$-mesurable.
\end{itemiz}\end{definition}


\begin{definition}[Variable al\'eatoire]\hfill
\begin{itemiz}
\item Si $(\Omega,...
...e la\/ \defwd{fonction de r\'epartition}\/ de $X$.
\end{itemiz}\end{definition}

Les fonctions mesurables d'un espace probabilisé sont donc simplement celles pour lesquelles on peut définir $ \prob{X\in A}$ pour tout Borélien $ A\in\cB$. La situation est symbolisée dans le diagramme suivant (notons que $ X$, étant mesurable, peut être identifiée à une application de $ \cF$ dans $ \cB$):

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} & \fP & \\  (\Omega,\cF)\quad & \longright...
...\searrow & & \nearrow \;\fP X^{-1} \\  & (\R,\cB) & \end{array}\end{displaymath} (2.23)

Finalement, il nous faut définir la notion d'intégrale sur un espace mesuré ou probabilisé. Nous nous bornerons ici à donner les définitions et le résultat principal.


\begin{definition}[Int\'egrale d'une fonction simple]\hfill
\par\noindent
Soit $...
... \6\mu = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i)\;.
\end{equation}\end{itemiz}\end{definition}


\begin{theorem}
Toute fonction mesurable $f: \Omega\to[0,\infty]$\ peut s'\'ecri...
...te et ne d\'epend pas de la suite de $e_n$\ convergeant vers $f$.
\end{theorem}

Ce résultat justifie la définition suivante.


\begin{definition}[Int\'egrale d'une fonction mesurable]\hfill
\begin{itemiz}
\i...
...lles que l'int\'egrale de $\abs{X}^p$\ soit finie.
\end{itemiz}\end{definition}

Dans le cas particulier $ (\Omega,\cF,\mu) = (\R,\cB,\lambda)$, l'intégrale introduite ci-dessus s'appelle l'intégrale de Lebesgue. Par définition, l'intégrale de Lebesgue d'une fonction simple est égale à la surface comprise sous le graphe de cette fonction, donc à son intégrale de Riemann. Par conséquent, si une fonction est intégrable selon Riemann, son intégrale de Lebesgue est égale à son intégrale de Riemann, et on écrit

$\displaystyle \int_\R f \,\6\lambda = \int_\R f(x)\,\6x = \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\6x\;.$ (2.24)

Revenons maintenant au cas particulier d'un espace probabilisé.


\begin{definition}[Esp\'erance]
Soit $X$\ une variable al\'eatoire sur un espace...
...ec{\varphi(X)} = \int_\Omega \varphi(X)\,\6\fP\;.
\end{equation}\end{definition}

On notera que les notations suivantes sont toutes équivalentes:

$\displaystyle \prob{X\leqs t}$ $\displaystyle = \int_{\set{X\leqs t}} \6\fP = \int_\Omega \indexfct{X\leqs t} \6\fP = \bigexpec{\indexfct{X\leqs t}}$    
  $\displaystyle = \fP X^{-1}(]-\infty,t]) = \int_\R \indicator{]-\infty,t]} \6\,(\fP X^{-1}) = \int_{-\infty}^t \6\,(\fP X^{-1}) \;.$ (2.25)


\begin{example}\hfill
\begin{itemiz}
\item Dans le cas d'un espace probabilis\'e...
...(\fP X^{-1})
= \int_\R x f(x) \,\6x\;.
\end{equation}\end{itemiz}\end{example}


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berglund 2005-11-28