Mesures de probabilité et espaces probabilisés

Nous donnons dans cette section une introduction à la théorie générale des espaces probabilisés, telle que fondée par Kolmogorov. Cette théorie permet de traiter de manière unifiée les espaces probabilisés discrets, les variables aléatoires à densité, et bien d'autres situations. La construction comporte trois étapes principales:
$\begin{enum} \item l'espace probabilis\'e est d\'efini \\lq a l'aide des notions de... ...s comme des int\'egrales par rapport \\lq a la mesure de probabilit\'e. \end{enum}$

$\begin{definition}[Tribu] Soit $\Omega$\ un ensemble. Une famille non vide $\cF$... ... de $\cF$, on a $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\cF$. \end{itemiz}\end{definition}$

$\begin{definition}[Mesure de probabilit\'e] Une\/ \defwd{mesure}\/ sur une tribu... ...ne\/ \defwd{mesure de probabilit\'e}\/, et on la notera $\fP$. \end{definition}$

$\begin{definition}[Espace probabilis\'e] Si $\cF$\ est une tribu sur $\Omega$, $... ...e, $(\Omega,\cF,\fP)$\ est un\/ \defwd{espace probabilis\'e}\/. \end{definition}$

$\begin{example}\hfill \begin{enum} \item $\cF=\set{\Omega,\emptyset}$\ est une $... ...^m}} = \frac{\abs{A}}{2^m} \end{equation}pour tout $m$. \end{enum}\end{example}$

$\begin{definition}[Application mesurable]\hfill \begin{itemiz} \item Si $(\Omega... ...nction continue $f: \R\to\R$\ est $\cB$-mesurable. \end{itemiz}\end{definition}$

$\begin{definition}[Variable al\'eatoire]\hfill \begin{itemiz} \item Si $(\Omega,... ...e la\/ \defwd{fonction de r\'epartition}\/ de $X$. \end{itemiz}\end{definition}$

Les fonctions mesurables d'un espace probabilisé sont donc simplement celles pour lesquelles on peut définir $\prob{X\in A}$ pour tout Borélien $A\in\cB$ . La situation est symbolisée dans le diagramme suivant (notons que

, étant mesurable, peut être identifiée à une application de $\cF$ dans $\cB$ ):

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} & \fP & \\ (\Omega,\cF)\quad & \longright... ...\searrow & & \nearrow \;\fP X^{-1} \\ & (\R,\cB) & \end{array}\end{displaymath}$

(2.23)

Finalement, il nous faut définir la notion d'intégrale sur un espace mesuré ou probabilisé. Nous nous bornerons ici à donner les définitions et le résultat principal.

$\begin{definition}[Int\'egrale d'une fonction simple]\hfill \par\noindent Soit $... ... \6\mu = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i)\;. \end{equation}\end{itemiz}\end{definition}$

$\begin{theorem} Toute fonction mesurable $f: \Omega\to[0,\infty]$\ peut s'\'ecri... ...te et ne d\'epend pas de la suite de $e_n$\ convergeant vers $f$. \end{theorem}$

$\begin{definition}[Int\'egrale d'une fonction mesurable]\hfill \begin{itemiz} \i... ...lles que l'int\'egrale de $\abs{X}^p$\ soit finie. \end{itemiz}\end{definition}$

Dans le cas particulier $(\Omega,\cF,\mu) = (\R,\cB,\lambda)$ , l'intégrale introduite ci-dessus s'appelle l'intégrale de Lebesgue. Par définition, l'intégrale de Lebesgue d'une fonction simple est égale à la surface comprise sous le graphe de cette fonction, donc à son intégrale de Riemann. Par conséquent, si une fonction est intégrable selon Riemann, son intégrale de Lebesgue est égale à son intégrale de Riemann, et on écrit

$\displaystyle \int_\R f \,\6\lambda = \int_\R f(x)\,\6x = \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\6x\;.$

(2.24)

$\begin{definition}[Esp\'erance] Soit $X$\ une variable al\'eatoire sur un espace... ...ec{\varphi(X)} = \int_\Omega \varphi(X)\,\6\fP\;. \end{equation}\end{definition}$

$\displaystyle \prob{X\leqs t}$	$\displaystyle = \int_{\set{X\leqs t}} \6\fP = \int_\Omega \indexfct{X\leqs t} \6\fP = \bigexpec{\indexfct{X\leqs t}}$
	$\displaystyle = \fP X^{-1}(]-\infty,t]) = \int_\R \indicator{]-\infty,t]} \6\,(\fP X^{-1}) = \int_{-\infty}^t \6\,(\fP X^{-1}) \;.$	(2.25)

$\begin{example}\hfill \begin{itemiz} \item Dans le cas d'un espace probabilis\'e... ...(\fP X^{-1}) = \int_\R x f(x) \,\6x\;. \end{equation}\end{itemiz}\end{example}$