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Loi de Poisson et `` loi des petits nombres''
La loi normale donne une bonne approximation de la loi binomiale pour
fixé et
tendant vers l'infini. La loi de Poisson, quant à elle,
décrit bien la loi binomiale pour
tendant vers l'infini et
tendant vers zéro, avec le produit
tendant vers une constante. Elle
modélise donc les expériences de Bernoulli avec une très faible
probabilité de succès, mais avec un grand nombre d'essais, du même
ordre de grandeur que l'inverse de la probabilité de succès.
Remarquons que
définit bien une loi de probabilité,
puisque
pour tout
et donc
, et
![$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \pi_\lambda(k) = \e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = \e^{-\lambda}\e^{\lambda} = 1\;.$](img202.png) |
(1.38) |
D´EMONSTRATION.
La proposition suivante établit la convergence (simple, c'est-à-dire
à
fixé) de la loi binomiale vers la loi de Poisson.
D´EMONSTRATION.
Soit
![$ \lambda_n=nq_n$](img206.png)
. Alors
Lorsque
![$ n\to\infty$](img112.png)
, on a
![$ \lambda_n\to\lambda$](img211.png)
,
![$ \lambda_n/n\to0$](img212.png)
et
![$ j/n\to0$](img213.png)
pour
![$ j=0,\dots,k-1$](img214.png)
, donc
![$\displaystyle \lim_{n\to\infty} b(k; n, q_n) = \frac{\lambda^k}{k!} \lim_{n\to\infty} \biggpar{1-\frac{\lambda_n}n}^n = \frac{\lambda^k}{k!}\e^{-\lambda}\;,$](img215.png) |
(1.40) |
la dernière égalité pouvant se montrer par un développement limité de
![$ \log\brak{(1-\lambda_n/n)^n}$](img216.png)
.
On peut en fait faire beaucoup mieux que de montrer la convergence simple de
la loi binomiale vers la loi de Poisson, et borner la `` distance
'' entre les deux lois.
D´EMONSTRATION.
La démonstration que nous allons donner est une petite merveille de la
théorie des probabilités. Elle n'utilise pratiquement pas d'analyse,
mais un grand nombre de concepts de probabilités discrètes vus
jusqu'ici.
Nous commençons par introduire des espaces probabilisés
, pour
, donnés par
et
![$\displaystyle p_i(k) = \begin{cases}\e^{-q} - (1-q) & \text{si $k=-1$\;,} \\ 1...
...{si $k=0$\;,} \\ \e^{-q} \dfrac{q^k}{k!} & \text{si $k\geqs 1$\;.} \end{cases}$](img223.png) |
(1.41) |
On vérifiera que les
![$ p_i$](img224.png)
définissent bien une distribution de
probabilité. Sur chaque
![$ \Omega_i$](img225.png)
, nous introduisons les deux variables
aléatoires
![$\displaystyle X_i(\omega_i) = \begin{cases}0 & \text{si $\omega_i=0$\;,} \\ 1 ...
...s}\omega_i & \text{si $\omega_i\geqs 1$\;,} \\ 0 & \text{sinon\;.} \end{cases}$](img226.png) |
(1.42) |
De cette manière, on a
![$ \prob{X_i=0}=1-q$](img227.png)
,
![$ \prob{X_i=1}=q$](img228.png)
,
et
![$ \prob{Y_i=k}= \pi_q(k)$](img229.png)
pour tout
![$ k\geqs0$](img230.png)
. De plus,
donc
![$\displaystyle \prob{X_i \neq Y_i} = q (1-\e^{-q}) \leqs q^2\;.$](img234.png) |
(1.44) |
Soit
![$ (\Omega,p)$](img235.png)
l'espace produit des
![$ (\Omega_i,p_i)$](img220.png)
. Alors
Comme
![$ X\neq Y$](img237.png)
implique que
![$ X_i\neq Y_i$](img238.png)
pour un
![$ i$](img95.png)
au moins, il suit
de (
1.6.14) que
![$\displaystyle \prob{X\neq Y} \leqs \sum_{i=1}^n \prob{X_i\neq Y_i} \leqs nq^2\;.$](img239.png) |
(1.45) |
Il reste donc à montrer que la le membre de gauche de (
1.6.10) est
majoré par
![$ 2\prob{X\neq Y}$](img240.png)
. Un tel procédé s'appelle un argument de
couplage. Nous posons, pour abréger l'écriture,
![$ f(k)=\prob{X=k}$](img241.png)
,
![$ g(k)=\prob{Y=k}$](img242.png)
et
![$ A = \setsuch{k}{f(k)>g(k)}$](img243.png)
. Alors
Or nous pouvons écrire
ce qui conclut la démonstration.
Le corollaire suivant montre l'utilité de la relation (1.6.10).
D´EMONSTRATION.
![$\displaystyle \bigabs{\expec{f(X)}-\expec{f(Y)}} \leqs \sum_{k=0}^\infty \bigabs{f(k)}\bigabs{b(k; n, q)-\pi_{nq}(k)} \leqs Mnq^2\;.$](img254.png) |
(1.48) |
La relation (
1.6.19) est un cas particulier de (
1.6.18), avec
![$ f(X)=\indicator{A}(X)$](img255.png)
égale à la fonction indicatrice de
![$ X\in A$](img256.png)
. En
effet, on a
![$ \expec{\indicator{A}(X)} = \sum_{k\in A}\prob{X=k} = \prob{X\in A}$](img257.png)
et
![$ \abs{\indicator{A}(k)}\leqs 1$](img258.png)
pour tout
![$ k\in A$](img259.png)
.
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berglund
2005-11-28