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Théorème de la limite centrale
Dans cette section, nous allons donner une interprétation plus précise
de la variance d'une variable aléatoire. Examinons à nouveau la somme
de
variables aléatoires de même espérance
et même variance
. Nous supposerons les
indépendants. Nous avons vu dans la section précédente que la
moyenne
a une grande probabilité d'être proche de
, mais
comment se comporte l'écart
? Dans la preuve du
Théorème 1.4.3, nous avons vu que
![$\displaystyle \biggprob{\biggabs{\frac{S_n}n - \mu} \geqs \eps} \leqs \frac{\sigma^2}{n\eps^2}\;.$](img120.png) |
(1.13) |
Le membre de droite tend vers zéro lorsque
, non seulement
pour
constant, mais également si
satisfait
. Par contre, il reste constant si
. On dit que la moyenne
`` se
concentre'' dans un intervalle
. Pour étudier plus précisément la déviation entre la moyenne et
l'espérance, on introduit la variable rééchelonnée
![$\displaystyle \widehat S_n = \frac{S_n-n\mu}{\sqrt n \,\sigma}\;.$](img126.png) |
(1.14) |
Remarquons que
et
.
Le théorème de la limite centrale affirme que pour tout
intervalle
,
![$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigprob{a \leqs \widehat S_n \leqs b} = \int_a^b \frac{\e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \,\6x\;.$](img130.png) |
(1.15) |
Commençons par vérifier que le membre de droite définit bien une
probabilité.
D´EMONSTRATION.
L'astuce consiste à calculer le carré de l'intégrale, qui vaut
![$\displaystyle \biggpar{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} ...
...\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \e^{-(x^2+y^2)/2} \,\6x\,\6y\;.$](img132.png) |
(1.16) |
En passant en coordonnées polaires
![$ (r,\varphi)$](img133.png)
, et tenant compte du
Jacobien de la transformation
![$ \6x\6y=r\,\6r\6\varphi$](img134.png)
,
cette expression devient
![$\displaystyle \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} \e^{-r^2/2} r\,\6r\,\6\varphi = \Bigbrak{-\e^{-r^2/2}}_0^\infty = 1\;.$](img135.png) |
(1.17) |
On a donc bien
![$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Bigprob{-\infty \leqs \widehat S_n \leqs \infty} = 1\;.$](img136.png) |
(1.18) |
Pour démontrer le théorème de la limite centrale dans le cas
particulier de la loi binomiale
, il est utile de connaître la formule de Stirling:
D´EMONSTRATION.
Considérons la fonction Gamma d'Euler
![$\displaystyle \Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1} \e^{-t}\,\6t\;.$](img139.png) |
(1.19) |
Il est clair que
![$ \Gamma(1)=1$](img140.png)
, et une intégration par parties montre que
![$\displaystyle \Gamma(n+1) = \int_0^\infty t^n \e^{-t}\,\6t = \Bigbrak{-t^n \e^{-t}}_0^\infty + n \int_0^\infty t^{n-1} \e^{-t}\,\6t = n \Gamma(n)\;,$](img141.png) |
(1.20) |
d'où
![$ \Gamma(n+1) = n!$](img142.png)
. Écrivons alors, à l'aide du changement de
variables
![$ t=n+\sqrt{n} \,s$](img143.png)
,
où nous avons posé
![$\displaystyle h_n(s) = \begin{cases}\sqrt n\,s - n \log\biggpar{1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}} &\text{pour $s>-\sqrt n$\;,}\\ + \infty &\text{autrement\;.} \end{cases}$](img149.png) |
(1.22) |
Un développement limité en
![$ 1/\sqrt{n}$](img150.png)
montre que
pour
, |
(1.23) |
et donc
![$ h_n(s)$](img153.png)
converge simplement vers
![$ -s^2/2$](img154.png)
. D'autre part on
vérifie la minoration
![$\displaystyle h_n(s) \geqs g(s) = \begin{cases}\dfrac{s^2}6 & \text{pour $s\leqs 1$\;,} \\ \dfrac{s-1}2 & \text{pour $s\geqs 1$\;,} \end{cases}$](img155.png) |
(1.24) |
valable pour tout
![$ n\geqs 1$](img156.png)
. On vérifie facilement que la fonction
![$ \e^{-g(s)}$](img157.png)
est intégrable. Par conséquent, le théorème de la
convergence dominée montre que l'on peut échanger limite
![$ n\to\infty$](img112.png)
et intégrale, pour obtenir
![$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n \e^{-n} \sqrt{2\pi n}} = \frac{1}...
...ty} \e^{-h_n(s)}\,\6s = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \e^{-s^2/2} \,\6s\;,$](img158.png) |
(1.25) |
et cette dernière intégrale vaut
![$ 1$](img159.png)
par le lemme précédent.
Nous pouvons maintenant prouver le théorème de la limite
centrale pour la loi binomiale par un calcul relativement direct.
Rappelons que cette loi a espérance
et variance
.
D´EMONSTRATION.
Nous allons considérer le cas
![$ q=1/2$](img163.png)
afin de simplifier les notations,
mais le cas d'un
![$ q$](img164.png)
quelconque se montre de manière totalement analogue.
Il s'agit de calculer
où
![$ A = \set{0,\dots,n} \cap \brak{n/2 + \sqrt n \,a/2,
n/2 + \sqrt n \,b/2}$](img168.png)
.
Dans la suite, nous dirons que deux fonctions
![$ x(k,n)$](img169.png)
et
![$ y(k,n)$](img170.png)
sont
équivalentes, et nous noterons
![$ x(k,n)\sim y(k,n)$](img171.png)
, si
![$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup_{k \in A} \biggabs{\frac{x(k,n)}{y(k,n)}-1} = 0\;.$](img172.png) |
(1.27) |
En particulier, nous avons
![$ k\sim n/2$](img173.png)
et
![$ (n-k)\sim n/2$](img174.png)
.
La formule de Stirling nous donne alors
Écrivons
![$ k$](img51.png)
sous la forme
![$ k=n/2 + x\sqrt{n}/2$](img180.png)
, avec
![$ x\in[a,b]$](img181.png)
. On aura
donc
![$\displaystyle \frac kn = \frac12 \biggpar{1+\frac x{\sqrt{n}}}\;, \qquad 1 - \frac kn = \frac12 \biggpar{1-\frac x{\sqrt{n}}}\;,$](img182.png) |
(1.29) |
et par conséquent
![$\displaystyle b(k; n, 1/2) \sim \frac1{\sqrt{2\pi n}} \frac2{\sqrt{1-x^2/n}} \psi(x,n)\;,$](img183.png) |
(1.30) |
où nous avons introduit
![$\displaystyle \psi(x,n) = \biggpar{1+\frac x{\sqrt{n}}}^{-\bigpar{1+x/\sqrt{n}\,}n/2} \biggpar{1-\frac x{\sqrt{n}}}^{-\bigpar{1-x/\sqrt{n}\,}n/2}\;.$](img184.png) |
(1.31) |
Observons que le logarithme de
![$ \psi(x,n)$](img185.png)
s'écrit
![$\displaystyle \log\psi(x,n) = -\frac n2 \biggbrak{\biggpar{1+\frac x{\sqrt{n}}}...
...qrt{n}}} + \biggpar{1-\frac x{\sqrt{n}}} \log \biggpar{1-\frac x{\sqrt{n}}}}\;,$](img186.png) |
(1.32) |
et qu'un développement limité en
![$ 1/\sqrt{n}$](img150.png)
donne
![$\displaystyle \log\psi(x,n) = -\frac{x^2}2 + \biggOrder{\frac{x^3}{\sqrt{n}}}\;.$](img187.png) |
(1.33) |
Il suit donc de (
1.5.21) que
![$\displaystyle b(k; n, 1/2) \sim \frac2{\sqrt{2\pi n}} \e^{-x^2/2} \biggbrak{1+\biggOrder{\frac{x}{\sqrt n}}} \sim \frac2{\sqrt{2\pi n}} \e^{-x^2/2}\;,$](img188.png) |
(1.34) |
puisque
![$ x\in[a,b]$](img181.png)
. En remplaçant dans (
1.5.17), il vient
![$\displaystyle \Bigprob{a\leqs \widehat S_n\leqs b} \sim \frac1{\sqrt{2\pi}}\sum...
...olon\, (n + \sqrt{n}\,x)/2 \in \set{0,\dots,n}} \frac2{\sqrt{n}} \e^{-x^2/2}\;.$](img189.png) |
(1.35) |
La somme s'effectue sur des
![$ x$](img190.png)
régulièrement espacés de
![$ 2/\sqrt{n}$](img191.png)
.
C'est donc une somme de Riemann, qui converge vers
![$ \int_a^b \e^{-x^2/2}\,\6x$](img192.png)
.
Nous donnons maintenant, sans démonstration, l'énoncé général du
théorème de la limite centrale.
Le Théorème 1.5.4 montre que pour
grand, on a
approximativement
![$\displaystyle \biggprob{\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\in[a,b]} \simeq \Phi(b) - \Phi(a)\;,$](img195.png) |
(1.36) |
ou encore
![$\displaystyle \bigprob{S_n\in[\hat a,\hat b]} \simeq \Phi\biggpar{\frac{\hat b ...
...u}{\sqrt{n\sigma^2}}} - \Phi\biggpar{\frac{\hat a - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}}\;.$](img196.png) |
(1.37) |
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berglund
2005-11-28