Dans cette section, nous allons donner une interprétation de
l'espérance d'une variable aléatoire. Supposons que
sont des variables aléatoires obtenues en répétant
fois la même
expérience. Si
pour chaque
, nous savons par la
Proposition 1.3.9 que l'espérance de la moyenne
vaut également
. Mais pouvons-nous affirmer
plus, à savoir que la moyenne des
a une grande probabilité
d'être proche de
? C'est ce que fait la loi faible des grands
nombres. Pour démontrer cette loi, nous devons d'abord prouver
l'inégalité de Bienaymé-Chebychev.
Nous remarquons que la probabilité
devient faible dès que
est sensiblement plus grand que la variance
de
, donc dès que
est sensiblement plus grand que l'écart-type
. On dit que
est `` concentrée dans un intervalle
d'ordre de grandeur
autour de son espérance''.