Variables aléatoires

$\begin{definition}[Variable al\'eatoire] Soit $(\Omega,p)$\ un espace probabilis... ...atoire}\/ (dis\-cr\\lq ete) est une application $X: \Omega\to\R$. \end{definition}$

$\begin{notation}\hfill \begin{itemiz} \item Nous noterons $X(\Omega) \defby \se... ...Y\in B})$\ sera abr\'eg\'e\/ $\prob{X\in A,Y\in B}$. \end{itemiz}\end{notation}$

$\begin{example}\hfill \begin{enum} \item Soit $X$\ la somme des points obtenus e... .... On a par cons\'equent $X(\Omega)=\set{0,1,\dots,n}$. \end{enum}\end{example}$

$\begin{definition}[Loi d'une variable al\'eatoire] L'application \begin{equatio... ...st la\/ \defwd{loi}\/ (ou la\/ \defwd{distribution}\/) de $X$. \end{definition}$

$\begin{remark} Le fait que \begin{equation} \Omega = %% \bigcup_{z\in X(\Omega)... ...ons\'equent, $(X(\Omega),f)$\ est un espace probabilis\'e discret. \end{remark}$

$\begin{example}\hfill \begin{enum} \item Pour le jet de deux d\'es, la loi de la... ...$\ pour $n\in\N^*$ et s'appelle la loi g\'eom\'etrique. \end{enum}\end{example}$

La loi géométrique a une propriété remarquable: La probabilité d'un succès au

-ème essai, sachant que les

premiers essais ont échoué, ne dépend pas de

. Autrement dit, la probabilité de gagner dans une loterie au

-ème essai, sachant que l'on n'a jamais gagné auparavant, est la même que de gagner du premier coup. Plus généralement, la probabilité de gagner au

-ème essai, sachant que l'on n'a pas gagné lors des

premiers essais, est la même que de gagner au

-ème essai.

$\begin{prop} Pour une variable al\'eatoire $X$\ de loi g\'eom\'etrique, et tout ... ...on} \pcond{X=n+k}{X>n} = \prob{X=k} \qquad \forall n\;. \end{equation}\end{prop}$

D´EMONSTRATION. Par calcul direct. On a

$\displaystyle \pcond{X=n+k}{X>n} = \frac{\prob{X=n+k}}{\prob{X>n}} = \frac{q(1-q)^{n-1+k}}{\sum_{m>n}q(1-q)^{m-1}}\;,$

(1.5)

et le dénominateur est égal à

. $\qedsymbol$

$\begin{definition}[Esp\'erance] Soit $X$\ une variable al\'eatoire telle que \b... ...quiv \sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)p(\omega)\;. \end{equation}\end{definition}$

Remarquons que pour un univers infini, l'espérance existe si et seulement si la série de terme général $X(\omega)p(\omega)$ converge absolument, et alors l'espérance est égale à la somme de cette série.

$\begin{prop}[Lin\'earit\'e de l'esp\'erance] Soient $X_1, \dots, X_n$\ des varia... ...a_n X_n} = a_1 \expec{X_1} + \dots + a_n \expec{X_n}\;. \end{equation}\end{prop}$

$\begin{example} % latex2html id marker 570 \hfill \begin{enum} \item \defwd{Loi ... ...de l'ordre des termes, car ceux-ci sont tous positifs). \end{enum}\end{example}$

$\begin{definition}[Variance] Soit $X$\ une variable al\'eatoire dont l'esp\'eran... ...cart-type}\/ de $X$\ la quantit\'e $\sigma(X)=\sqrt{\Var(X)}$. \end{definition}$

$\begin{prop}\hfill \begin{enum} \item On a\/ $\Var(X)\geqs0$, et\/ $\Var(X)=0$\ ... ...infty$\ et\/ $\Var(Y)<\infty$, alors\/ $\Var(X+Y)<\infty$. \end{enum}\end{prop}$

$\begin{example}[Loi g\'eom\'etrique] Soit $X$\ une variable al\'eatoire suivant ... ...'eatoire de loi g\'eom\'etrique est donc \'egale \\lq a $(1-q)/q^2$. \end{example}$

En général, la variance de la somme

n'est pas égale à la somme des variances de

et de

. En fait, nous avons

$\displaystyle \Var(X+Y)$	$\displaystyle = \bigexpec{\brak{X+Y-\expec{X+Y}}^2}$
	$\displaystyle = \bigexpec{\brak{X-\expec{X}+Y-\expec{Y}}^2}$
	$\displaystyle = \bigexpec{\brak{X-\expec{X}}^2} + \bigexpec{\brak{Y-\expec{Y}}^2} + 2 \bigexpec{\brak{X-\expec{X}}\brak{Y-\expec{Y}}}$
	$\displaystyle = \Var(X) + \Var(Y) + 2 \bigexpec{\brak{X-\expec{X}}\brak{Y-\expec{Y}}}\;.$	(1.6)

$\begin{definition}[Covariance] On appelle\/ \defwd{covariance}\/ de deux variabl... ...\cov(X,Y)=0$. Dans ce cas, on a $\Var(X+Y) = \Var(X)+\Var(Y)$. \end{definition}$

$\begin{prop}\hfill \begin{enum} \item On a $\cov(X,Y) = \cov(Y,X)$. \item La co... ...n \Var(X_i) + \sum_{i\neq j} \cov(X_i,X_j)\;. \end{equation}\end{enum}\end{prop}$

La variante suivante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de borner la covariance de deux variables aléatoires.

$\begin{prop} Si $\Var(X)$\ et $\Var(Y)$\ existent, alors $\cov(X,Y)$\ existe et ... ...Y)} \leqs \sigma(X)\sigma(Y) = \sqrt{\Var(X)\Var(Y)}\;. \end{equation}\end{prop}$

D´EMONSTRATION. L'existence suit du fait que $\abs{\expec{XY}}<\infty$ en vertu de l'inégalité $\abs{X(\omega)Y(\omega)}\leqs\frac12(X(\omega)^2+Y(\omega)^2)$ . Considérons alors l'application

$\begin{displaymath}\begin{array}{rrcl} g: & \R^2 & \to & \R_+ \\ & (a,b) & \mapsto & g(a,b) = \Var(aX+bY)\;. \end{array}\end{displaymath}$

(1.7)

Les résultats précédents impliquent que

$\displaystyle g(a,b)$	$\displaystyle = a^2 \Var(X) + 2ab \cov(X,Y) + b^2 \Var(Y)$
	$\displaystyle = \begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Var(X) & \cov(X,Y) \\ \cov(X,Y) & \Var(Y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}\;.$	(1.8)

Comme $g(a,b)\geqs0$ pour tout choix de

, la matrice dans cette dernière expression est semi-définie positive. Son déterminant est donc non-négatif, or celui-ci est précisément égal à $\Var(X)\Var(Y) - \cov(X,Y)^2$ . Ainsi, $\abs{\cov(X,Y)} \leqs \sqrt{\Var(X)\Var(Y)}$ . $\qedsymbol$

$\begin{remark} En statistique, on introduit le \defwd{coefficient de corr\'elati... ...es variables $X$et $Y$\ sont en fait lin\'eairement d\'ependantes. \end{remark}$

Nous établissons maintenant un lien entre la non-corrélation et l'indépendance.

$\begin{definition}[Ind\'ependance de variables al\'eatoires] Les variables al\'e... ...tout choix de $z_1\in X_1(\Omega), \dots, z_n\in X_n(\Omega)$. \end{definition}$

Cette définition est compatible avec la Définition 1.2.6 de l'indépendance d'événements. En effet, on a le résultat suivant.

$\begin{prop} Les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes: \begin{enum} \ite... ...et{X_1=z_1}$, \dots, $\set{X_n=z_n}$\ sont ind\'ependants. \end{enum}\end{prop}$

$\begin{prop} Deux variables al\'eatoire ind\'ependantes, dont l'esp\'erance existe, sont non corr\'el\'ees. \end{prop}$

D´EMONSTRATION. Supposons d'abord que la covariance existe. Alors

$\displaystyle \expec{XY}$	$\displaystyle = \sum_{x\in X(\Omega)} \sum_{y\in Y(\Omega)} xy \,\prob{X=x,Y=y}$
	$\displaystyle = \sum_{x\in X(\Omega)} \sum_{y\in Y(\Omega)} xy \,\prob{X=x}\prob{Y=y} = \expec{X}\expec{Y}\;,$	(1.9)

donc $\cov(X,Y)=0$ . Un calcul similaire montre que $\expec{\abs{XY}}= \expec{\abs{X}}\expec{\abs{Y}}$ , ce qui justifie l'existence de la covariance. $\qedsymbol$

Il suit de ce résultat que si $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes, alors la variance de leur somme est égale à la somme de leurs variances.

$\begin{example}\hfill \begin{enum} \item \emph{Loi binomiale:}\/ On a vu qu'une ... ...\set{X=1}$\ et $\set{Y=0}$\ ne sont pas ind\'ependants. \end{enum}\end{example}$