La notion de probabilité conditionnelle est une notion fondamentale. En
effet, on a souvent accès à la probabilité qu'un certain événement
soit réalisé, sous la condition qu'un événement
ait eu lieu,
ce qui revient à restreindre l'univers
à
.
Remarquons que si l'on définit
pour
tout
, alors
est un espace probabilisé discret,
puisque
Cette dernière relation est une application de la loi des probabilités totales, que nous allons énoncer de manière générale, ainsi que son corollaire, la formule de Bayes.
Il est inutile d'apprendre la formule de Bayes par coeur, mieux vaut savoir la redériver! Cette formule permet d'`` inverser une probabilité conditionnelle'', un procédé qui est souvent source de confusion dans les applications.
La notion de probabilité conditionnelle est intimement liée à la notion d'indépendance.
Un exemple important d'événements indépendants apparaît lorsque l'on effectue plusieurs expériences, différentes ou non, qui ne s'influencent pas mutuellement. On peut alors construire un espace probabilisé unique pour l'ensemble des expériences, dont les événements liés à des expériences différentes seront naturellement indépendants.