Probabilités conditionnelles, indépendance

La notion de probabilité conditionnelle est une notion fondamentale. En effet, on a souvent accès à la probabilité qu'un certain événement

soit réalisé, sous la condition qu'un événement

ait eu lieu, ce qui revient à restreindre l'univers $\Omega$ à

$\begin{definition}[Probabilit\'e conditionnelle] Soit $B\subset\Omega$\ un \'ev\... ... \fP(A\vert B) = \frac{\fP(A\cap B)}{\fP(B)}\;. \end{equation} \end{definition}$

Remarquons que si l'on définit $q(\omega) = \fP(\set{\omega}\vert B)$ pour tout $\omega\in B$ , alors

est un espace probabilisé discret, puisque

$\displaystyle \sum_{\omega\in B} q(\omega) = \sum_{\omega\in B} \frac{\fP(\set{... ...a}\cap B)}{\fP(B)} = \frac1{\fP(B)} \sum_{\omega\in B} \fP(\set{\omega}) = 1\;.$

(1.1)

$\begin{prop} Pour tous $A, B \subset \Omega$\ avec $\fP(B)>0$, \begin{enum} \it... ...\item On a $\fP(A^{\math{c}}\vert B) = 1 - \fP(A\vert B)$. \end{enum}\end{prop}$

$\begin{example}\hfill \begin{enum} \item On lance deux d\'es. La probabilit\'e q... ...ap E_1) \\ &= f_0 \fP(E_0) + f_1 \fP(E_1)\;. \end{align}\end{enum}\end{example}$

Cette dernière relation est une application de la loi des probabilités totales, que nous allons énoncer de manière générale, ainsi que son corollaire, la formule de Bayes.

$\begin{theorem}[Loi de la probabilit\'e totale et formule de Bayes] Soient $B_1,... ...A\vert B_j) \fP(B_j)} \end{equation}(formule de Bayes). \end{enum}\end{theorem}$

D´EMONSTRATION. La première relation se montre en écrivant

$\displaystyle \fP(A) = \fP\Bigpar{\bigcup_j(A\cap B_j)} = \sum_j \fP(A \cap B_j) = \sum_j \fP(A\vert B_j) \fP(B_j)\;.$

(1.2)

La seconde s'obtient en notant que

$\displaystyle \fP(B_i\vert A) = \frac{\fP(B_i\cap A)}{\fP(A)} = \frac{\fP(A\vert B_i) \fP(B_i)}{\fP(A)}\;,$

(1.3)

puis en appliquant (1.2.7). $\qedsymbol$

Il est inutile d'apprendre la formule de Bayes par coeur, mieux vaut savoir la redériver! Cette formule permet d'`` inverser une probabilité conditionnelle'', un procédé qui est souvent source de confusion dans les applications.

$\begin{example} Revenons au probl\\lq eme de transmission de l'exemple pr\'ec\'eden... ...e probabilit\'e d'erreur de $13\%$\ pour la transmission des $1$! \end{example}$

La notion de probabilité conditionnelle est intimement liée à la notion d'indépendance.

$\begin{definition}[Ind\'ependance]\hfill \begin{enum} \item Deux \'ev\'enements ... ...indices $\set{i_1,\dots,i_k}\subset\set{1,\dots,n}$. \end{enum}\end{definition}$

$\begin{remark} L'ind\'ependance par paires n'implique pas l'ind\'ependance. Un e... ...\cap\fP(C)$, et donc $A$, $B$\ et $C$\ ne sont pas ind\'ependants. \end{remark}$

Un exemple important d'événements indépendants apparaît lorsque l'on effectue plusieurs expériences, différentes ou non, qui ne s'influencent pas mutuellement. On peut alors construire un espace probabilisé unique pour l'ensemble des expériences, dont les événements liés à des expériences différentes seront naturellement indépendants.

$\begin{definition}[Espace produit] Soient $(\Omega_1,p_1), \dots, (\Omega_n,p_n)... ...,\omega_n)) = p_1(\omega_1)\dots p_n(\omega_n)\;. \end{equation}\end{definition}$

$\begin{prop} Soit $(\Omega,p)$\ l'espace produit de $(\Omega_1,p_1), \dots, (\Om... ...v\'enements $\widehat A_1, \dots \widehat A_n$\ sont ind\'ependants. \end{prop}$

D´EMONSTRATION. Commençons par le cas

. Alors

$\displaystyle \fP\bigpar{\widehat A_1\cap\widehat A_2}$	$\displaystyle = \sum_{\omega\in\widehat A_1\cap\widehat A_2} p(\omega) = \sum_{\omega_1\in A_1}\sum_{\omega_2\in A_2} p_1(\omega_1) p_2(\omega_2)$
	$\displaystyle = \sum_{\omega_1\in A_1} p_1(\omega_1) \sum_{\omega_2\in A_2} p_2... ...= \sum_{\omega\in\widehat A_1} p(\omega) \sum_{\omega\in\widehat A_2} p(\omega)$
	$\displaystyle = \fP\bigpar{\widehat A_1}\fP\bigpar{\widehat A_2}\;.$	(1.4)

On procède ensuite par récurrence sur

. $\qedsymbol$

$\begin{example}[Exp\'erience de Bernoulli] Consid\'erons une exp\'erience dont l... ... = \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} \bydef b(k; n, q)\;. \end{equation}\end{example}$