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La marche aléatoire unidimensionnelle symétrique
Considérons une expérience de Pile ou Face. Pour
jets successifs, on
peut prendre comme univers le produit
.
Considérons alors la variable aléatoire
égale à la
différence entre le nombre de Pile et de Face obtenus lors des
premiers jets. On peut écrire
où ![$\displaystyle X_j = \begin{cases}\phantom-1 & \text{si le $j$-\\lq eme jet donne Pile\;,}\\ -1 & \text{si le $j$-\\lq eme jet donne Face\;.}\\ \end{cases}$](img436.png) |
(3.1) |
La marche aléatoire unidimensionnelle symétrique est la suite
des
obtenue dans le cas
![$\displaystyle \prob{X_j=1} = \prob{X_j=-1} = \frac12\;,$](img437.png) |
(3.2) |
les
étant supposés indépendants. Les réalisations
du processus sont des suites
d'entiers telles que
et
(fig_marche1). La probabilité de chaque suite de longueur
est
.
Commençons par établir quelques propriétés élémentaires de la
variable aléatoire
.
D´EMONSTRATION.
La Proposition 3.1.1 implique que
est nul en moyenne, mais
que ses fluctuations sont d'ordre
.
En particulier, la probabilité que le processus se trouve en 0 au
-ème pas est donnée par
![$\displaystyle \prob{S_k=0} = \begin{cases}0 & \text{si $k$\ est impair\;,} \\ ...
...ac{(2\ell)!}{2^{2\ell}(\ell!)^2} & \text{si $k=2\ell$\ est pair\;.} \end{cases}$](img447.png) |
(3.3) |
Remarquons que la formule de Stirling implique que pour
grand,
![$\displaystyle \prob{S_{2\ell}=0} \sim \frac1{2^{2\ell}} \frac{\sqrt{4\pi\ell}\e...
...l}(2\ell)^{2\ell}}{2\pi\ell\e^{-2\ell}\ell^{2\ell}} = \frac1{\sqrt{\pi\ell}}\;.$](img449.png) |
(3.4) |
Cependant, la loi de chaque
ne détermine pas le processus, les
n'étant pas indépendants. Voici d'abord quelques propriétés
simples du processus considéré dans son ensemble:
D´EMONSTRATION.
Nous pouvons décomposer
![$\displaystyle S_k = S_\ell + Y\;, \qquad Y = \sum_{j=\ell+1}^k X_j\;.$](img451.png) |
(3.5) |
L'indépendance des
![$ X_i$](img98.png)
implique que
![$ Y = S_k-S_\ell$](img452.png)
est indépendante
de
![$ X_1,\dots,X_\ell$](img453.png)
, donc aussi de
![$ S_1,\dots,S_\ell$](img454.png)
. Il suit que
Par le même raisonnement, nous avons également
![$\displaystyle \pcond{S_k=n}{S_\ell=m_\ell} = \prob{Y=n-m_\ell}\;.$](img458.png) |
(3.7) |
Finalement,
![$\displaystyle \prob{Y=n-m} = \biggprob{\sum_{j=\ell+1}^k X_j = n-m} = \biggprob{\sum_{j=1}^{k-j} X_j = n-m} = \prob{S_{k-\ell}=n-m}\;,$](img459.png) |
(3.8) |
du fait que les
![$ X_i$](img98.png)
sont identiquement distribués.
La propriété de Markov signifie que l'évolution du
processus ne dépend que de son état présent, indépendamment de son
passé. Elle permet d'écrire des relations du genre
Voyons maintenant comment déduire de ces propriétés des informations
non triviales sur les réalisations du processus. Une première
quantité intéressante est le temps
du premier retour du
processus en 0 (fig_marche2):
![$\displaystyle \tau = \inf\setsuch{k\geqs 1}{S_k=0}\;.$](img463.png) |
(3.9) |
Par exemple, dans l'expérience de jet de pièce de monnaie,
est le
nombre de fois que l'on jette la pièce jusqu'à obtenir pour la
première fois autant de Pile que de Face. Quelle est la loi de
?
Il est clair que
ne peut
prendre que des valeurs paires. De plus, si
alors
, donc
. En fait, il nous faut déterminer
![$\displaystyle \prob{\tau=k} = \prob{S_1\neq0,S_2\neq0,\dots,S_{k-1}\neq0,S_k=0}\;.$](img467.png) |
(3.10) |
D´EMONSTRATION.
Supposons que
![$ \tau=k$](img464.png)
.
Comme le processus ne peut pas changer de signe sans passer par 0, on a
où nous avons utilisé la propriété de Markov dans la dernière
ligne. La propriété des incréments stationnaires
implique
![$\displaystyle \pcond{S_k=0}{S_{k-1}=1} = \prob{S_1=-1} = \frac12\;.$](img477.png) |
(3.12) |
Il suit que
Nous utilisons maintenant un argument important, appelé le
principe de réflexion: A tout chemin allant de
![$ (1,1)$](img481.png)
à
![$ (k-1,1)$](img482.png)
passant par 0, on peut faire correspondre un unique chemin de
![$ (-1,1)$](img483.png)
à
![$ (k-1,1)$](img482.png)
, obtenu en réfléchissant par rapport à l'axe
des abscisses la partie du chemin antérieure au premier passage en 0.
On a donc
![$\displaystyle \prob{S_1=S_{k-1}=1,\,\exists\ell\in\set{2,\dots,k-2}:\,S_\ell=0} = \prob{S_1=-1,S_{k-1}=1}\;.$](img484.png) |
(3.14) |
Finalement, en appliquant de nouveau la propriété des incréments
stationnaires, on voit que
En remplaçant dans (
3.1.19), il vient
![$\displaystyle \prob{\tau=k} = \frac12 \bigbrak{\prob{S_{k-2}=0} - \prob{S_{k-2}=2}}\;.$](img489.png) |
(3.16) |
Le reste de la preuve est un calcul direct. Comme
![$\displaystyle \frac{\prob{S_{k-2}=2}}{\prob{S_{k-2}=0}} = \frac{\binom{k-2}{k/2...
...frac k2}!\bigpar{\frac k2-2}!} = \frac{\frac k2 - 1}{\frac k2} = 1 - \frac2k\;,$](img490.png) |
(3.17) |
on obtient
![$\displaystyle \prob{\tau=k} = \frac12 \prob{S_{k-2}=0}\biggbrak{1 - 1 + \frac2k} = \frac1k \prob{S_{k-2}=0}\;,$](img491.png) |
(3.18) |
ce qui conclut la démonstration.
Le tableau suivant donne les premières valeurs de la loi de
:
Il est donc assez probable de revenir rapidement en 0, puis la loi prend
des valeurs plutôt faibles, tout en décroissant lentement. Il suit
de (3.1.6) que pour des grands
,
décroît comme
. Ce fait a une conséquence surprenante:
D´EMONSTRATION.
On a
![$\displaystyle \expec{\tau} = \sum_{k\geqs 1}k\prob{\tau=k} = \sum_{\ell\geqs1} ...
...\prob{S_{2\ell-2}=0} \sim \sum_{\ell\geqs1} \frac1{\sqrt{\pi\ell}} = +\infty\;.$](img516.png) |
(3.19) |
En d'autres termes, la marche aléatoire finit toujours par revenir en 0,
mais la loi de
décroît trop lentement pour que son espérance
soit finie. Cela est lié au fait que si la marche aléatoire s'éloigne
beaucoup de 0, il lui faut longtemps pour y revenir.
Considérons une autre application du principe de réflexion. Supposons
qu'une machine à sous fonctionne avec une mise d'un euro, et que la
machine rende soit deux euros, soit rien, avec la même probabilité.
Combien de fois peut-on jouer, si l'on possède initialement
euros?
La somme que l'on possède après avoir joué
fois est égale à
, on peut donc jouer jusqu'à ce que
. Il nous faut donc
déterminer la loi de
![$\displaystyle \tau_L = \inf\setsuch{k\geqs0}{S_k=L}$](img519.png) |
(3.20) |
pour
dans notre exemple.
D´EMONSTRATION.
Considérons le cas
![$ L>0$](img522.png)
. On a
Invoquons alors à nouveau le principe de réflexion
(fig_marche4). A chaque réalisation telle que
![$ S_{k-1}=L-1$](img528.png)
, qui
a déjà atteint le niveau
![$ L$](img529.png)
auparavant, on peut associer une
réalisation telle que
![$ S_{k-1}=L+1$](img530.png)
. Nous avons donc
Le cas
![$ L<0$](img536.png)
suit par symétrie.
Pour des raisons similaires à celles du cas du retour en 0, la loi de
décroît en
, et son espérance est donc infinie.
On est donc sûr de perdre tôt ou tard, tout en pouvant espérer jouer
infiniment longtemps. Le tableau suivant donne les premières valeurs de la
loi dans le cas
, donc si on ne possède que deux euros au début. On
constate que si l'on ne perd pas lors des
premiers coups, la
probabilité de perdre en
coups change très peu d'un
au suivant.
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berglund
2005-11-28