Laurent DELSOL

Thèmes de recherche:

Cette page présente un résumé de mes thématiques actuelles de recherche. Vous trouverez plus de détails en consultant mon Curiculum Vitae ou la page concernant mes publications.

Mes travaux de recherche m'ont conduit au cours des dernières années à des collaborations avec Christophe Crambes, Frédéric Ferraty, Ali Laksaci, Cécile Louchet, Adela Matinez Calvo, Catherine Timmermans, Ingrid Van Keilegom, Philippe Vieu et Rainer von Sachs.

Enfin, mon manuscrit de thèse est disponible sur la page de mes publications ou en cliquant ici.

A. Statistique fonctionnelle
Une partie importante de mon travail de recherche s’articule autour de la conception, de l’étude et de l’utilisation de méthodes semi et non paramétriques de statistique fonctionnelle (adaptées à des échantillons de courbes). Ce domaine de la statistique est actuellement en plein essor en raison de la variété des méthodes qu’il reste encore à développer et du potentiel important d’applications intéressantes (voir par exemple Ramsay et Silverman, 2002, 2005, Bosq, 2000, Ferraty et Vieu, 2006, Dabo-Niang et Ferraty, 2008, Ramsay et al., 2009,  Ferraty, 2011, Ferraty et Romain, 2011, Kokoszka et Horvath, 2012, Zhang, 2013, Bongiorno et al., 2014, Hsing et Eubank, 2015).

A.1. Régression sur variable fonctionnelle
Mon travail de recherche concerne notamment l'étude de modèles où une variable d'intérêt réelle Y dépend d'une courbe (ou plus généralement d'une variable explicative fonctionnelle) X. Au cours de ces dernières années, je me suis intéressé à l'étude de ce lien au travers du modèle de régression sur variable fonctionnelle
dans lequel Y est une variable aléatoire réelle, X une variable aléatoire à valeurs dans un espace pseudo-métrique (E,d), m est un opérateur inconnu que l'on cherche à étudier tandis que R représente le terme d'erreur et vérifie E[R | X] = 0.

J'ai obtenu des résultats de normalité asymptotique et de convergence L^p (avec expression asymptotique des moments) de l'estimateur de Nadaraya-Watson étendu au cas fonctionnel (voir Ferraty and Vieu, 2006) dans le cas de données alpha-mélangeantes. Nous avons ensuite introduit (avec F. Ferraty et P. Vieu) une approche générale permettant la construction de tests d'hypothèses variés sur m (non-effet, linéarité,  ...) ainsi  qu'une méthode de rééchantillonnage pour estimer le seuil à utiliser. Le cas particulier des tests de non-effet a notamment été considéré et expérimenté (de différentes manières) sur des données spectrométriques. Une collaboration plus récente avec C. Timmermans et R. von Sachs donne les premiers résultats justifiant le choix par validation croisée de la pseudo-métrique utilisée pour définir l'estimateur à noyau généralisé.

Je me suis également intéressé, avec C. Crambes et A. Laksaci, a l'étude d'estimateurs robustes dans ce type de modèle.  Nous avons obtenus des résultats similaires à ceux obtenus précédemment pour l'estimateur à noyau de m en termes de convergence L^p (avec expression asymptotique des moments) dans le cas de données alpha-mélangeantes.

A.2. Segmentation d'images hyperspectrales
Décomposer une image en un ensemble de régions (c'est à dire groupes de pixels) homogènes est un
problème classique, appelé segmentation, en traitement d'image. Ces régions ont habituellement une signification concrète et correspondent à des éléments spécifiques de la scène que l'on cherche à identifier. De nombreuses méthodes ont été proposées pour segmenter des images en niveaux de gris ou multispectrales. Différentes méthodes de segmentation ont été notamment construites à partir d'approches bayésiennes (voir par exemple Besag, 1989, Deng and Clausi, 2004, Orbanz et Buhmann, 2008, Chen et al.,2010, Pereyra et al., 2013, et les références qu'ils contiennent). L'approche par maximum a posteriori (M.A.P.) est une méthode de segmentation par détection de régions qui a fait ses preuves. Elle consiste à déterminer l'image segmentée x la plus vraisemblable conditionnellement à l'image originale y. Cela revient à trouver (via la formule de Bayes)
Un a prioiri de type champs de Potts est introduit sur X pour modéliser la régularité spatiale au sein de
l'image segmentée. Tandis que f_Y|X=x(y) peut être estimée (sous certaines hypothèses) à partir des densités estimées (souvent au travers de densités gaussiennes) sur chacunes des régions définies par x.

Je travaille avec C. Louchet sur la généralisation de ces méthodes de segmentation dans le cas d'images hyperspectrales (ou plus généralement d'images pour lesquelles à chaque pixel est associé une courbe - discrétisée en un grand nombre de points). En combinant des travaux récents en statistique non-paramétrique fonctionnelle concernant l'estimation de la densité de variables fonctionnelles (voir notamment Dabo-Niang, 2004) avec l'approche décrite cidessus, nous proposons une méthode innovante. La recherche du maximum a posteriori se fait au travers d'un algorithme de type Mode Conditionnel Itéré. Les premiers tests que nous avons effectués sur des données simulées et sur des images réelles sont prometteurs.

B. M-estimation semi-paramétrique avec critère non-lisse
J'ai travaillé avec I. Van Keilegom dans le cadre du projet ERC "M- and Z-estimation in semiparametric statistics : applications in various fields". Plus précisément, nous nous sommes intéressés à l'étude de problèmes de M-estimation où l'objectif est d'estimer un paramètre d'intérêt µ₀ qui maximise un critère semi-paramétrique
dans lequel h₀ est un paramètre de nuisance inconnu et la fonction m n'est pas dérivable par rapport à µ.

On considère alors comme estimateur de µ₀ une valeur qui maximise le critère empirique

L'objectif est de faire le lien entre l'approche considéree par Chen et al. (2003) dans le cas de Z-estimateurs et celle proposée par Van der Vaart et Wellner (1996) pour étudier des M-estimateurs lorsqu'il n'y a pas de paramètre de nuisance. On se sert notament d'hypothèses portant sur l'entropie de la famille à laquelle appartient le paramètre de nuisance ainsi qu'à des résultats fins sur les processus empiriques pour obtenir sous des conditions assez générales la consistance, la vitesse de convergence, et la distribution asymptotique de ces estimateurs.