Il est commode de renuméroter les états d'une chaîne absorbante, en
plaçant d'abord les états non absorbants, ensuite les états
absorbants. Dans ce cas, on dira que la matrice de transition est écrite
sous forme canonique
D´EMONSTRATION.
Soit
![$ i$](img95.png)
un état non absorbant (
![$ i\leqs m-r$](img658.png)
). L'élément de matrice
![$ (Q^n)_{ij}$](img659.png)
de
![$ Q^n$](img660.png)
est la probabilité de se trouver dans l'état non
absorbant
![$ j$](img661.png)
, après
![$ n$](img41.png)
pas, partant de
![$ i$](img95.png)
. Par conséquent,
![$ (Q^n)_{ij}$](img659.png)
est inférieur ou égal à la probabilité de ne par avoir
atteint d'état absorbant en
![$ n$](img41.png)
pas. Soit
![$\displaystyle m_i = \min\setsuch{k\geqs1}{\exists \ell>m-r,\,(P^k)_{i\ell}>0}$](img662.png) |
(3.49) |
le nombre minimal de pas nécessaire à atteindre un état absorbant
![$ \ell$](img448.png)
depuis
![$ i$](img95.png)
. Soit
![$\displaystyle p_i = \probin{i}{X_{m_i}\leqs m-r} < 1$](img663.png) |
(3.50) |
la probabilité de ne pas atteindre d'état absorbant en
![$ m_i$](img664.png)
pas,
partant de
![$ i$](img95.png)
. Soit enfin
![$\displaystyle M = \max_{i=1,\dots,m-r} m_i\;, \qquad p = \max_{i=1,\dots,m-r} p_i\;.$](img665.png) |
(3.51) |
Alors la probabilité de ne pas atteindre d'état absorbant en
![$ M$](img666.png)
pas,
partant de n'importe quel état non absorbant, est bornée par
![$ p$](img667.png)
. Il
suit que la probabilité de ne pas atteindre d'état absorbant en
![$ Mk$](img668.png)
pas est bornée par
![$ p^k$](img669.png)
. Cette probabilité tend vers 0 lorsque
![$ k$](img51.png)
tend vers l'infini. La probabilité de ne pas être absorbé après un
nombre arbitraire
![$ \ell$](img448.png)
de pas étant une fonction décroissante de
![$ \ell$](img448.png)
, elle tend nécessairement vers 0. Par conséquent,
![$ (Q^n)_{ij}$](img659.png)
tend vers zéro lorsque
![$ n$](img41.png)
tend vers l'infini, pour tout
![$ j\in\set{1,\dots,r}$](img670.png)
.