Résumé

L’algèbre de Hecke $H$ du groupe de réflexion complexe $G(r,1,n)$, aussi appelée algèbre d’Ariki–Koike, est une déformation de l’algèbre de groupe du produit en couronne $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \wr \mathfrak{S}_n$ ; on peut en donner une présentation en terme de générateurs et de relations. Lorsqu’elle est définie sur un corps, l’algèbre $H$ est isomorphe à une algèbre de Hecke carquois de type $A$, aussi appelée algèbre de Khovanov-Lauda-Rouquier, et hérite de la graduation de cette dernière. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la sous-algèbre $H^{\sigma}$ de $H$, qui est l’algèbre du groupe de réflexion complexe $G(r,p,n)$, dont on peut également donner une présentation sous forme de générateurs et relations : c’est la sous-algèbre de $H$ fixée par un certain automorphisme $\sigma$. En utilisant cet automorphisme, nous donnerons une graduation sur $H^{\sigma}$, qui fera de cette algèbre une sous-algèbre graduée de $H$. Enfin, si le temps le permet, nous aborderons l’aspect cellulaire de ces algèbres : l’algèbre $H$ possède une base cellulaire graduée, et nous nous pencherons sur l’existence d’une telle base pour $H^{\sigma}$.